Золотой билет - Страница 23

Рис. 4.9. Кубик Рубика. Фото: Том ван дер Занден

На самом деле все совсем не так. Благодаря такой области математики, как теория групп, у нас есть эффективные алгоритмы, способные справиться даже с гигантскими кубами. Оптимального решения они не дают, но все же позволяют собрать кубик относительно быстро вне зависимости от его начального состояния.

Верится с трудом, но это правда – кубик Рубика намного проще «Тетриса», «Сапера» и судоку.

А как обстоит дело с играми для двоих? Шахматы, шашки, го, «Отелло»? Если говорить о гигантских версиях, то они не уступают по сложности ни проблеме выполнимости, ни другим NP-полным задачам, однако к классу NP, тем не менее, не принадлежат. Вы спросите, почему? Потому что если я скажу, что белые обеспечат себе выигрыш, передвинув пешку на «e3», то вы вряд ли сможете быстро это проверить. Ученые полагают, что на самом деле эти игры намного труднее любой NP-полной задачи.

Цепочка из почек

Почки выводят из организма балластные вещества. У большинства людей обе почки здоровы; если одна отказала, другая будет работать за двоих, позволяя человеку жить полноценной жизнью. Иногда отказывают обе почки, и тогда от смерти может спасти только регулярный диализ, который дорого стоит и отнимает много времени.

Если ваши почки здоровы, вы можете стать донором и отдать одну из них тому, у кого почки не функционируют вообще, – при условии совместимости с организмом реципиента. Совместимость проверяется с помощью несложного анализа крови.

Допустим, почки Элис вышли из строя. Ее муж, Боб, согласен стать донором. Если Боб пройдет тест на совместимость, врачи пересадят Элис его почку.

А если не пройдет? Тогда можно будет попытаться совершить обмен почками.

Предположим, Чарли требуется почка, его брат Дэвид готов отдать свою, но его почка не подходит. Если Дэвид совместим с Элис, а Боб – с Чарли, то можно провести операцию сразу на четырех пациентах, и в результате и Элис, и Чарли получат рабочую почку.

Представьте, что у нас имеется база данных с информацией по всем совместимым парам донор-реципиент. Тогда мы можем запустить на ней эффективный алгоритм, который найдет наибольшее возможное число обменов. Задача совсем не сложная и аналогична задаче о максимальном числе паросочетаний, рассмотренной в предыдущей главе.

Ограничиваться двумя парами за раз совсем не обязательно. В конце 2011 года силами шестидесяти хирургов была проведена цепочка из тридцати таких операций. Для тридцати человек это был единственный способ обрести здоровье.

Если мы в нашей базе разрешим обмен по цепочке, желая помочь как можно большему числу людей, то снова придем к NP-полной задаче. Равенство P и NP спасет чьи-то жизни, а это уже гораздо серьезнее, чем гарантированный выигрыш в игре «Сапер»!

Мастера конспирации

Как правило, те NP-задачи, которыми ученые занимались в середине семидесятых, довольно быстро либо оказывались NP-полными, либо «скатывались» в класс P, поскольку для них появлялись эффективные алгоритмы. Однако некоторые особо вредные экземпляры упорно не желали поддаваться классификации; одни сумели продержаться несколько лет, другие не удалось рассекретить до сих пор.

Изоморфизм графов

В Королевстве насчитывается несколько сотен фанатов «Блейд Квеста» – массовой многопользовательской ролевой онлайн-игры. Как и в других играх подобного плана, участники здесь получают новую личность, или аватар; каждый исполняет роль определенного персонажа и общается с другими персонажами, за которыми тоже стоят реальные жители Королевства. В виртуальном мире дружеские связи сохраняются: те, кто дружат в жизни, становятся друзьями и в игре, а те, кто враждуют, заново проникаются взаимной неприязнью.

Джон, Изабель, Кевин, Лаура, Молли и Нэнси очень любят играть в «Блейд Квест».

Рис. 4.10. Любители «Блейд Квеста»

Их персонажей зовут Акрис, Лэмбо, Криард, Де Гарольд, Хрхрхр и Вирус, но кто под каким именем скрывается – неизвестно: эта информация пользователям игры недоступна, и они могут видеть только схему дружеских связей между персонажами.

Рис. 4.11. Аватары в «Блейд Квесте»

Проанализировав обе схемы, Лаура отправила остальным игрокам сообщение от имени своего аватара: «Я знаю, кто ты!» А вы уже догадались, кто есть кто?

Схемы будут соответствовать друг другу лишь в том случае, если Изабель – это Хрхрхр, Джон – Де Гарольд, Кевин – Криард, Лаура – Лэмбо, Молли – Акрис, а Нэнси – Вирус. Например, «реальная» Молли дружит с Лаурой и Нэнси, а ее аватар Акрис – с Лэмбо и Вирусом.

Установить, соответствуют ли друг другу подобные схемы, – это все равно что определить, изоморфны два графа или нет. Некоторые схемы сопоставить нельзя, другие – можно, иногда даже несколькими способами. Проблема изоморфизма графов лежит в NP, поскольку, зная, кто есть кто, можно легко проверить соответствие дружеских связей.

Вопрос о том, относится ли проблема изоморфизма также и к классу P, до сих пор открыт; никто пока не придумал хороший алгоритм, который всегда находил бы искомое соответствие в случае, если оно действительно есть. Мы также не знаем, является ли эта проблема NP-полной, хотя, по мнению ученых, некоторые признаки косвенно указывают на то, что не является. Изоморфизм графов стоит в ряду немногочисленных задач, занимающих некое промежуточное положение: они вроде бы труднее, чем задачи из P, но легче, чем задачи NP-полные, вроде поиска гамильтонова пути или максимального разреза.