Золотой билет - Страница 20

То, чем мы сейчас тут занимались, называется процессом сведения одной задачи к другой. Сведение широко используется в теории сложности, и мы с вами только что свели проблему клики к проблеме выполнимости логического выражения, показав тем самым, что любой метод решения задачи о выполнимости можно применить и к задаче о клике. Появление эффективного алгоритма для задачи о выполнимости означало бы, что такой алгоритм существует и для задачи о клике; найти клику не труднее, чем определить условия выполнимости, и если задачу о выполнимости можно легко решить – значит, задача о клике тоже легко решаема. С другой стороны, если бы кому-то удалось доказать, что для задачи о клике эффективного алгоритма не существует, это означало бы, что его не существует и для задачи о выполнимости.

На самом деле к проблеме выполнимости, или SAT (от англ. satisfiability – выполнимость), сводится не одна лишь задача о клике, но и другие задачи класса NP, которые мы обсуждали ранее, включая задачу о коммивояжере, поиск гамильтонова пути, построение максимального разреза и раскраску карт. Стивен Кук доказал, что любая проблема из NP сводится к проблеме выполнимости. Решите проблему выполнимости – и у вас будет ключ ко всем проблемам из NP. Появление эффективного алгоритма для задачи о выполнимости будет означать, что такой алгоритм существует для всех задач, решение которых легко проверяется, а следовательно, P = NP. Создайте эффективный алгоритм решения проблемы SAT – и получите миллион долларов от Института Клэя!

Сама проблема SAT также принадлежит NP, поскольку для любого набора входных переменных истинность логического выражения проверяется относительно быстро. В классе NP эта задача является универсальной или, как еще говорят, самой трудной, или NP-полной. Доказать наличие эффективного алгоритма для ее решения значит доказать равенство P и NP.

Симпозиум проходил в городке Шейкер-Хайтс в штате Огайо, в отеле Somerset Inn, принадлежащем компании Stouffer. Стивен Кук выступил с докладом 4 мая 1971 года.

«Полученные результаты дают нам основания полагать, что проблема выполнимости – задача чрезвычайно любопытная, поскольку она, по всей видимости, не имеет эффективных методов решения. Думаю, стоит попытаться доказать данную гипотезу: в теории сложности это стало бы величайшим прорывом».

С того дня и ведет свою историю проблема равенства P и NP.

Двадцать плюс одна

Работу Кука оценили, однако ажиотаж вокруг нее поднялся не сразу. В те годы проблема выполнимости интересовала немногих, и никто еще толком не понимал смысл класса NP. Кук даже не придумал ему названия и пользовался выражением «недетерминированное полиномиальное время». Все изменилось, когда вслед за Куком свою работу опубликовал профессор Ричард Карп из Калифорнийского университета в Беркли.

Ознакомившись с результатами Кука, Карп понял, как можно свести проблему выполнимости к задаче о клике. Он разработал несложный метод преобразования логического выражения в схему, похожую на схему дружеских связей, при котором выражение оказывалось выполнимым в том и только в том случае, когда в схеме существовала клика определенного размера. Отсюда следовало, что любой алгоритм решения задачи о клике заодно решает и проблему выполнимости. Кук доказал, что проблема выполнимости является самой трудной в NP; в работе Карпа было показано, что задача о клике не проще и потому тоже является самой трудной. Появление эффективного алгоритма для задачи о клике будет означать, что любую задачу из NP можно решить быстро, и докажет равенство классов P и NP.

Кук свел задачу о клике к проблеме выполнимости, Карп совершил обратный процесс, и в результате оказалось, что с вычислительной точки зрения эти две совершенно непохожие задачи эквивалентны. Проблему выполнимости можно решить быстро тогда и только тогда, когда быстро решается задача о клике, или – что то же самое – когда P равно NP.

Не ограничившись одной лишь задачей о клике, Карп рассмотрел еще девятнадцать важнейших задач и показал, что все они также являются самыми трудными. Среди них – задача о разбиении множества, задача коммивояжера, поиск гамильтонова пути, раскраска карт и поиск максимального разреза. Появление эффективного алгоритма хотя бы для одной даст нам возможность быстро решать их все и докажет равенство P и NP. Если же классы P и NP все-таки не совпадают, то ни одну задачу из списка – а их там двадцать одна, включая выполнимость, – нельзя решить быстро.

Ошибочно было бы полагать, что рассмотренные Карпом задачи надуманы и интересуют только математиков: большинство из них очень даже практические.

Возьмем, к примеру, компанию Coca-Cola. Под этой маркой производится более трех тысяч напитков по всему миру. Установка для розлива напитков способна выдавать сотни различных продуктов. В ее состав входит несколько разливочных машин, каждая из которых выполняет определенную последовательность операций, чтобы смешать ингредиенты. Одна машина может приготовить множество различных напитков. Задача установки – скоординировать работу всех разливочных машин и добиться наивысшей производительности, выдавая максимальное число напитков за минимальное время, т. е. решить проблему распределения подзадач, которая тоже входит в список Карпа и является самой трудной в NP.

Даже небольшое увеличение скорости производства за счет удачного распределения задач принесет компании-производителю миллионы долларов. С момента появления первых цифровых компьютеров ученые и программисты трудятся над созданием наилучших алгоритмов для решения этой проблемы, однако никому еще не удалось придумать такой алгоритм, который всегда выдавал бы на выходе оптимальное распределение. И это неудивительно: ведь Карп показал, что даже частные случаи проблемы распределения задач являются самыми трудными в NP.